Poker et Finance (2) : le principe de Kelly
Le profil de joueur de poker est de plus en plus recherché dans les métiers de la finance. On a déjà vu des banques d'investissement sélectionner leurs nouveaux traders en organisant des cash-games de Texas Hold'em no-limit. Pourquoi ? car ce sont deux professions qui réclament peu ou prou les mêmes qualités : la capacité à arbitrer risques et profits en faisant appel aux probabilités, à analyser rapidement des situations complexes et à gérer prudemment son capital.
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Cette dernière qualité, en particulier, est primordiale : un bon trader doit savoir diversifier ses risques et prendre ses pertes au bon moment. Dans notre nouvelle série d'articles stratégiques, nous nous intéresserons donc aux similitudes entre marchés financiers et gestion de bankroll. Le sujet d'aujourd'hui : le "Principe de Kelly".
L'histoire du principe de Kelly
L'une des questions qui se pose continuellement à tout gestionnaire de capital, c'est de déterminer le degré optimal de diversification de son portefeuille. Les traders arbitrent en permanence entre rendement et risque. Diversifier ses placements diminue naturellement le risque de faillite mais également le rendement potentiel. Où donc faut-il mettre le curseur ? C'est là qu'interviennent les systèmes théoriques de gestion de capital comme le "Kelly Criterion" (ou "principe de Kelly" en bon français).
John Kelly est un ingénieur des laboratoires d'AT&T, le géant américain des télécoms. A l'origine, il a développé ce principe pour lutter contre les bruits parasites dans les appels à longue distance. Mais les joueurs de blackjack et les parieurs hippiques ont vite eu vent de ce nouveau système qui leur permettait d'optimiser la gestion de leur bankroll sur le long terme. Aujourd'hui, le principe de Kelly est également utilisé dans les salles de marché.
Le calcul du pourcentage de Kelly
Il repose sur deux indices :
- le taux de gain (W), qui est la probabilité d'effectuer une opération gagnante. On l'obtient en divisant le nombre d'opérations positives par le nombre total d'opérations. Idéalement, ce chiffre doit être supérieur à 0,5.
- le ratio gain/perte (R), qui correspond à la somme des gains divisée par la somme des pertes. On l'obtient en divisant son gain moyen (la moyenne de ses opérations gagnantes) par sa perte moyenne (la moyenne de ses opérations perdantes). Idéalement, ce chiffre doit être supérieur à 1.
Le principe de Kelly, exprimé en pourcentage, se calcule alors de la manière suivante :
W – [(1 – W) / R]
Il représente le montant des positions que le trader doit prendre pour maximiser le rendement de son portefeuille, exprimé en pourcentage de la valeur totale de ce même portefeuille.
Exemple : un trader passe en revue les 100 dernières opérations qu'il a effectuées. 60 se sont conclues sur un solde positif et 40 sur un solde négatif. Les 60 opérations positives lui ont rapporté 1.000 en moyenne tandis que les 40 opérations négatives lui ont coûté 1.100 en moyenne. Son pourcentage de Kelly est donc égal à 0,6 - [(1-0,6)/0,9] = 0,155. Ainsi, pour que le portefeuille de ce trader soit optimal, chaque nouvelle opération devra représenter 15,5% du montant total de son portefeuille .
L'inspiration d'un Prix Nobel
La théorie du portefeuille efficace de Markowitz découle très directement des travaux de Kelly. Un portefeuille est dit efficace quand, pour un rendement donné, aucune diversification supplémentaire ne peut plus réduire le risque encouru. Inversement, aucune hausse du rendement ne peut non plus être obtenue sans accroitre le risque du portefeuille. Ces concepts d'efficacité sont à la base du Capital Asset Pricing Model, pour lequel Markowitz, Sharpe & Miller ont reçu le Prix Nobel d'économie en 1990.
Attention ! Le principe de Kelly ne fonctionne que pour des traders qui sont déjà gagnants sur le long terme et qui veulent simplement optimiser leurs positions. Il assume donc dans ses hypothèses de base que le trader qui l'utilise est capable de maintenir ses performances. En ce sens, il est incapable de palier aux défaillances d'un mauvais trader ou de prédire un crash futur sur le marché.
Kelly adapté au poker
Adapté au poker avant même que de servir dans les salles de marché, le principe de Kelly fonctionne de la même manière lorsqu'il s'applique à l'univers du jeu : il n'est sensé être utilisé que par des joueurs gagnants sur le long terme. Il n'est donc adapté qu'à une limite donnée et doit être recalculé à chaque passage de limite, dès que l'historique des sessions jouées devient significatif.
Mais au poker tout est plus simple et cette équation bizarre W – [(1 – W) / R] est l'approximation d'un calcul que tous les joueurs connaissent déjà : L'Expected Value. Dès qu'un joueur +EV connaît avec précision l'étendue de son "avantage sur l'aléa" à une limite donnée, il sait également quel pourcentage de sa bankroll il peut mettre en jeu à chaque session.
Exemple : Prenons le cas d'un joueur qui estime, après examen attentif de ses 100 dernières sessions en 1$/2$, que son edge se situe à 4%. Cela signifie que lorsqu'il investit 200$ à une table en début de session, il ressort en moyenne avec 208$. Selon le principe de Kelly, ce joueur peut investir 4% de sa bankroll dans une seule partie. Ainsi, s'il dispose d'une bankroll de 7.500$, il peut risquer jusqu'à 300$ à la table.
Le principe de Kelly est considéré par certains comme une stratégie de gestion de bankroll trop agressive, notamment en ce qui concerne les tournois, soumis à une variance supérieure à celle des cash-games.C'est pourquoi de nouveaux modes de calcul ont été proposés, basés sur un "demi-Kelly" (%EV/2) ou sur un "quart-Kelly" (%EV/4).
Dernier point important dont il convient de se rappeler lorsqu'on veut utiliser le principe de Kelly, c'est qu'il s'agit d'un système dynamique, qui s'exprime en pourcentage de votre bankroll et qui évolue donc proportionnellement à cette dernière. Après une série de mauvaises sessions vous devrez donc réduire le volume des montants misés à chaque partie.
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