Math et poker : L'aversion au risque peut nuire à l'espérance de gains
La théorie des perspectives (prospect theory en anglais) a été développée par Daniel Kahneman, professeur de psychologie à l'université de Princeton et prix Nobel d'économie en 2002. Elle fait partie des théories de l'économie comportementale et décrit l'attitude des individus devant prendre une décision dans un environnement probabiliste où les différents résultats possibles sont connus.
Dans un premier article, consacré à la prise de la décision selon la théorie des perspectives, nous avions vu que la plupart des gens prennent leurs décisions, non pas en maximisant leur espérance de gains (expected value, EV), mais en essayant de réduire les risques quitte à perdre enl'EV.
Aujourd'hui, nous nous penchons sur le problème de Samuelson, présenté par Daniel Kahneman dans son ouvrage Thinking Fast & Slow. Comment une personne rationnelle peut-elle refuser un pari EV+ mais en accepter plusieurs ? A cause de l'aversion au risque.
Le problème de Samuleson : prendre le coin flip ou pas ?
Le grand Paul Samuelson – un géant parmi les économistes du XXème siècle – a posé à l'un de ses amis la question de savoir s'il accepterait de parier sur un pile ou face [coin flip] où il pourrait perdre 100$ et en gagner 200$. Son ami lui répondit : "Je refuserai le pari car je ressentirais davantage la perte de 100$ que le gain de 200$. Mais je relèverais le pari si tu me promets de me laisser 100 lancers".
Ce type de réponse devrait surprendre un joueur de poker pour qui, soit le pari est rentable sur le long terme et donc bon pas à prendre, soit il n'est pas rentable - et en jouer un ou 100 reste une perte en terme d'EV. Mais pour l'ami de Samuelson, victime d'une aversion au risque, perdre 100$ lui procure deux fois plus de peine que de gagner 200$, c'est pourquoi la proposition ne l'intéresse pas.
Mais alors pourquoi accepter si 100 lancers sont possibles ? Analysant la réponse de son ami Samuelson explique pourquoi le choix de son ami est justifiable et "en arrive à une conclusion qui contrevient au bon sens, voire même à la rationalité : la proposition de 100 lancers est si attirante, qu'aucune personne sensée ne la refuserait" selon Kahneman.
Du pari individuel à l'agrégation de paris
Kahneman cite les travaux deMatthew Rubin et Richard Thaler : "L'agrégat de 100 paris avec 50% de risques de perdre 100$ et 50% de chances de gagner 200$ a un gain espéré de 5.000$, avec 1/2.300 chances de finir perdant et environ 1/62.000 chances de perdre plus de 1.000$". Comment une personne censée pourrait-elle refuser ?
Le tableau ci-dessous représente la préférence de l'ami de Samuelson, la ligne "Pertes doublées" servant à exprimer son aversion au risque. Seuls trois lancers sont indiqués, mais le résultat est suffisamment instructif pour que l'on n'ait pas besoin de faire le calcul pour les 100 lancers.
| Proposition | Distribution | Total EV |
|---|---|---|
| Un lancer | 50%*-100$ + 50%*200$ | 50$ |
| Pertes doublées | 50%*-200$ + 50%*200$ | 0$ |
| Deux lancers | 25%*-200$ + 50%*100$ + 25%*400$ | 100$ |
| Pertes doublées | 25%*-400$ + 50%*100$ + 25%*400$ | 50$ |
| Trois lancers | 12,5%*-300$ + 37,5%*0$ + 37,5%*300$ + 12,5%*600$ | 150$ |
| Pertes doublées | 12,5%*-600$ + 37,5%*0$ + 37,5%*300$ + 12,5%*600$ | 112,5$ |
"Vous pouvez voir qu'un lancer unique a une expected value de 50$. Néanmoins, un lancer ne vaut rien pour l'ami de Samuelson, car la peine provoquée par la perte d'1$ vaut deux fois le plaisir suscité par le gain d'1$". Ainsi, pour l'ami de Sam parier sur un lancer, bien qu'EV+ sur le long terme, ne vaut rien à cause de son aversion pour le risque.
Au contraire, avec deux lancers et des pertes doublées, les deux extrêmes (une perte de 200$ et un gain de 400$) s'annulent pour ne laisser qu'une possibilité favorable (50% de chance de gagner 100$). Avec trois lancers, la proposition est encore plus favorable.
L'aversion au risque a un coût financier
"Maintenant, vous pouvez voir ce que coûte un mode de pensée à court terme et la magie de l’agrégation des paris. Il y a deux paris favorables qui, considérés séparément par l'ami de Samuelson, ne valent rien. Si on lui fait la proposition deux fois séparément, il rejettera les deux. Mais si on lui propose les deux paris ensemble, ils valent 50$ ! […] L'aspect le plus remarquable de cette histoire est que l'ami de Samuelson n'a jamais remis en cause son aversion au risque".
En guise de conclusion, Kahneman adresse un sermon destiné à quiconque prendrait ses décisions en fonction de son aversion au risque plutôt qu'en cherchant à maximiser le gain espéré sur le long terme (EV)
Vous aurez de nombreuses opportunités de considérer des paris favorables dont les enjeux sont minimes relativement à fortune totale. Vous feriez une grande faveur à vos finances en étant capable de voir chacun de ces paris comme une partie d'un ensemble plus vaste de paris et de répéter la mantra qui vous rapprochera de la rationalité économique : gagner un peu, perdre un peu. L'objectif principal de cette mantra est de conserver le contrôle de vos émotions face à une perte. Si vous la pensez effective, vous devriez vous la remémorer quand vous décidez ou non de prendre un pari avec une espérance mathématique positive (EV+).
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