Mathématique du poker : le Power Number
Le poker nous confronte parfois à des situations délicates qui nécessitent une prise de décision rapide. Dans le doute nous agissons souvent par instinct ou accumulation de données sans réelle conviction de la justesse de notre acte. La mathématique peut nous porter secours dans des cas précis. Le Power Number fait partie d'un calcul rationnel qui favorise la prise de décision.
Situation tirée d'un fait réel....
Dernièrement nous observions le déroulement d'un tournoi live. Nous avions misé dans la main de l'un de participants ce qui donnait plus d'intérêt au résultat final. Alors qu'il ne restait plus que 35 joueurs sur 137, notre associé d'un jour décidait de faire all in en position UTG. Nous étions suspendus à la décision de chaque joueur qui jetèrent leurs mains une à une. La small blind après longue réflexion fit un call et abattît une paire de 99. Notre poulain découvrit un (As,10) offsuit et nous partîmes bredouilles. Il s'en suit un débat animé sur l'opportunité d'envoyer son tapis à ce moment précis. Le Power Number trancha froidement: le all-in était incertain ! La mathématique est un précieux secours pour arbitrer certains coups joués. Voyons l'explication mathématique détaillée.
Préliminaire sur la Hand Range
Il y a 13 nombres de cartes différentes qui vont du 2 à l'As. Le carré de ce nombre forme le nombre de combinaisons existantes (13²) = 169 mains possibles.
Nous ne tenons pas compte des combinaisons de couleurs : A♦ et A♠ équivaut à A♣ A♥, idem pour les cartes dépareillées.K♠6♦ équivaut à K♥6♣ ou K♠6♥... Elles seront comptabilisés pour une seule main.
Parmi ces combinaisons il est effectué un classement tenant compte de la force de chaque main : le "Hand range". Suivant vos capacités de lecture il sera hautement intéressant de mettre vos adversaires sur des rangs de mains possibles. Ce rang est utile pour déterminer votre fold equity.
Le top 10% contient les 17 mains les plus fortes (10% de 169 mains possibles de depart), et ainsi de suite par ordre décroissant.
En fonction du style de vos adversaires, vous pourrez en déduire qu'il se situe dans un pourcentage de mains probables en fonction de sa position. Les joueurs serrés de niveau moyen sont ainsi beaucoup plus facile à cerner.
La probabilité de gagner est évidemment plus forte contre un seul adversaire que contre plusieurs opposants. Pour l'exemple ci-dessous, nous nous cantonnerons dans un premier temps à une confrontation en tête à tête eu égard aux caractéristiques de la table.
En effectuant une rapide recherche avec Pokerstove (notre ami), nous constatons que (As 10)o sera gagnant dans prés de 63% des cas contre toutes les mains confondues. Cette probabilité élevée peut prêter à confusion. Ce pourcentage tombe à 53% contre les 25% meilleures mains et à 36% contre les 10% des meilleures mains.
Pour parfaire notre calcul nous devons nous intéresser à la dynamique de la table ainsi qu'au complément d'informations mis à notre disposition sur l'état ambiant du tournoi.
Données essentielles concernant le tournoi et les tapis en présence
Le tournoi était un buy-in 500€ avec 137 participants. Le niveau très moyen composé de joueurs plutôt serrés.
Les blinds à 300-600 avec un anté à 50.
La moyenne à ce moment précis est d'environ 11 000 jetons.
Notre ami possède 6700 jetons.
Sa position est UTG.
Nous sommes encore à 20 places de la bulle.
9 joueurs à la table.
3 joueurs se démarquent avec prés de 18 000 de jetons sans développer de jeu agressif. Ils sont placés à droite de notre ami (position tardive et small blind).
Notre ami a une image solide à la table il n'a pas joué beaucoup de mains et abattu des jeux puissants jusqu'alors.
De cette première analyse on pourrait déjà conclure qu'un push serait forcement payé par le top 15% des meilleurs mains. Cette indication est plutôt rassurante, inquiétante si d'aventure nous étions payés. L'étude psychologique de la table est tout a fait favorable dans l'ensemble.
Données propres à notre tapis
Sachant que les blinds sont de 300-600 et les antés de 50(450 pour un tour) le total cumulé est égal à 1350, votre tour d'orbite vous coute donc 1350 jetons. Ce paramètre s'appelle le CPR (cost per round).
Calcul du M: égal au montant de votre tapis divisé par le CPR.
En l'occurrence : 6700/1350 = 5.
Sachant que votre M est inférieur à 8, c'est déjà une indication intéressante. Vous êtes dans la zone critique et vous devez redoubler d'agressivité pour augmenter votre ratio. C'est sans doute ce qui a poussé notre ami à envoyer son tapis sans plus attendre.
Dynamique de la table
Comme la table ne possède pas de joueurs très large ou trop agressifs, malgré votre tapis moyen vous possédez encore une fold equity suffisante pour faire peur. Les joueurs de cette table ne se risqueraient pas à des confrontations douteuses, ou du moins incertaines. Cela vous donne l'avantage de l'attaquant et vous permettra de faire jeter les petites paires, ainsi que la plupart des broadways: un{Ax,Jx}o mal placé devrait jeter sa main.
La solution d'équilibre : introduction du Power Number
Comme nous l'avons précisé notre ami est donc UTG , ce qui veut dire qu'il amenuisera de 1000 jetons son tapis les deux coups suivants: (SB 300 + BB 600 + Anté 2*50).
Bien qu'il sache qu'il ne possède pas une main de toute première catégorie, il se situe tout de même dans les 20 premières (19éme sur 169) et dans le top des 15% toutes mains confondues. L'angoisse de chuter à un M sensiblement égal à 4 dans les prochaines minutes favorise fortement le push, mais le doute subsiste eu égard à la mauvaise position.
La mathématique vient au secours du poker
Vous n'avez pas pas envie d'être contraint de faire un push automatique pour votre survie, cependant vous n'aurez plus le choix si votre M tombe à 3. Votre décision est cependant minutée et seule l'habitude de cet exercice peut vous aider à trancher dans ce cas précis.
Le Power Number est une nouvelle notion qui peut vous aider. Il est surtout utilisé pour des M situés entre 3 et 8, sous réserve que la considération des places payées n'intervienne pas (loin de la bulle), et que vous soyez le premier à agir.
Que l'anté ne soit pas supérieur à 5% de la BB.
Entendez par agir, le fait de procéder à un push en estimant au plus juste vos chances de victoire.
Pour ce faire il vous faudra connaître les différents PN suivants vos cartes de départ:
Nous ne prendrons que les PN supérieurs à 35, sachant qu'en deçà vous comprendrez par la suite qu'ils n'ont pas grand intérêt.
Les différents PN suivant votre main
Paires de 4 et plus : (paire de 44 PN = 39)Paire de 55 PN= 44 jusqu'à paire AA : PN = 79
Qui forment un total de 11 paires (44 to AA)
Cartes assorties (Suited)
En partant de l'As - (As,8)s assortis et plus (As,8)s PN = 37 ( 6 combinaisons)
En partant du Roi - (K,9)s assortis et plus (K,9)s - PN = 44 (5 combinaisons)
En partant de la Dame -(Q,9)s et plus (Q,10)s - PN = 58 (5 combinaisons)
En partant du valet -(J,9)s assortis et plus (J,9)s - PN = 39 (5 combinaisons)
En partant du 10 -(10,9)s Assortis et plus (10,9)s - PN = 43 (5 combinaisons)
Exemples : J♥Q♥ : PN = 75, K♠10♠: PN = 66
Pour aller plus vite.. Tableau complet des PN
Légende du tableau
Le symbole + représente un PN > à 75
Les chiffres en rouge représentent des PN > à 35
Les chiffres en bleu des PN> à 20 et < à 35
Les lettres representent des PN insignifiants et < à 2
32 combinaisons de mains offrent un PN supérieur à 35, incluant 11 paires (44 et +). Les As, Rois, Dames, Valets et 10 suited en excluant les doublons.
NB: Encore une fois nous excluons les différentes couleurs possibles par combinaison.
Votre Hand Range qui se situe dans les 15% , vous garantit plus de sécurité pour des décisions délicates.
Nous constatons par ailleurs la supériorité des cartes assorties par rapport aux mêmes cartes off suited.
(K,J)o ne possède qu'un PN de 31 quant à (Q,J)o son PN est seulement à 26!
Cartes non assorties (Off suited)
Très peu nombreuses à posséder un PN élevé :
(KQ)o PN = 48
(As,J)o : PN = 50
(As,D)o, (As,K)o ont un PN supérieur à 70
A♦ 10♣ : PN = 36
Tous les autres As ont un PN inférieur à 35.
Notre fameux A♦ 10♣ possède donc un Power Number de 36.
Utilisation du Power Number
Votre position est primordiale pour utiliser ce paramètre qui tient compte d'un faible M :
Prenez le nombre d'adversaires qui peuvent encore agir à votre gauche.
Multipliez ce nombre par le M
Si le nombre obtenu est inférieur au PN, mieux vaut s'abstenir.
Dans notre cas précis
UTG table à neuf joueurs (reste 8 joueurs à votre gauche incluant la SB et la BB)
Le M était égal à 5 à ce moment précis.
Calcul : 8(Nb de joueurs) X 5(M) = 40
A♦10♣ ne possède qu'un PN de 36, l'option du push est donc très limite.
A titre d'exemple un A♦ 10♦ aurait eu un PN de plus de 70, soit prés du double. Il est vrai que trois carreaux sont sortis au board (sic..) ce qui nous pousse à citer cet exemple.
Cependant si nous avions été au Bouton, seulement deux futurs opposants auraient pu procéder à un call, ce qui diminue de moitié les risques encourus.
Le calcul aurait été le suivant :
Calcul : 2( Nb de joueurs) X 5(M)= 10 largement inférieur à 36.
Dans ce cas notre A♦10♣ est bien approprié pour pousser notre tapis.
Inutile de faire des calculs savants dés que votre M atteint 3 ou moins. Vous pouvez envoyer votre tapis sans regarder les cartes on ne pourra pas vous accuser de faire une faute.
Si vous arrivez à mémoriser ces PN, vous pourrez effectuer des calculs rapides avec un peu d'entraînement. Pour des M compris entre 3 et 8, le PN sera pour vous la solution rationnelle à votre problème.
Conclusions subséquentes
Slansky avait déjà introduit cette notion avec l'aide de Chubokov en établissant un parallèle avec la force de vos mains. Il s'intéresse particulièrement à la confrontation SB vs BB. Andy Bloch s'est également penché sur cette situation en y apportant des nuances.
Le Power Number est une formule simplifiée. Nous en déduisons un principe simple. Au moins le nombre d'adversaires resteront à parler au plus vous pourrez descendre dans votre Hand Range.
La situation idéale pour un tournoi en position reste la SB si personne n'a encore agi. Dans ce cas la vous n'aurez plus à affronter qu'un seul adversaire quoi qu'il arrive et vous pourrez vous permettre de jouer avec des mains plus marginales.
Votre Q♦5♠ qui n'aurait pas cours en temps normal, aurait 50.1% de chances de l'emporter face à tout le panel de mains confondues, si vous étiez sur d'affronter un seul adversaire.
Pour reprendre le calcul avec le Power Number
Vous êtes en SB et aucune action n'a eu lieu
1(nb de joueur restant) X 5 (M) = 5
PN de Q♦5♠ = 6
Très limite, mais suffisant pour oser le push.
N'importe quel AS, Roi, Dame et Valet - hormis (Valet,2),(Valet,3)- peuvent faire l'affaire dans ce cas la.
Tirez profit de la situation
Plus de la moitié des combinaisons de mains possibles ont une probabilité supérieure ou égale à 50% d'espérance de victoire en cas d'affrontement en tête à tête.
Encore une fois la position est déterminante pour effectuer votre push. Au plus elle sera sécurisé par le petit nombre d'adversaires restant à parler au mieux vous pourrez l'optimiser.
Tirez donc partie de ces conclusions pour ajuster votre agressivité dans des cas délimités par le calcul.
A table restreinte, agressivité accrue
Dans le même registre pour prolonger le raisonnement, les parties en Short Handed diminuent donc la valeur du point et vous obligent à effectuer des moves avec des mains considérées comme faibles pour une table complète.
L'agressivité peut donc être parfaitement conseillée si elle est contrôlée. Elle devient obligatoire, lorsque le champ de joueurs restant se restreint au minimum.
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