Math & Poker : Quelle probabilité de perdre une série de coin flips ?
Walter Hickey, diplômé en mathématique et rédacteur pour le site d'information businessinsider.com tente de démystifier neuf idées reçues sur les mathématiques, dont une intéressera particulièrement les joueurs de poker : quelle est la probabilité de gagner (ou perdre) consécutivement un certains nombre de coin flip ?
Statistiques, réalité et variance
Les mathématiques sont un aspect incontournable du poker. Parmi leurs multiples applications, ils permettent d'analyser le jeu d'un point de vue statistique pour savoir si une façon de jouer est rentable sur le long terme au delà de son résultats à court terme. Cette écart entre les résultats à court termes et à la long terme s'appelle la variance.
Par exemple, un joueur all-in préflop avec A♦K♦ contre 5♥5♣ a (quasiment) 50% de chances de gagner. Si l'on répète cette situation 10 fois, en moyenne As-Roi gagnera cinq fois et perdront cinq fois.
En moyenne. Car en réalité, chacun de ces événements étant indépendant des autres, il est tout à fait possible de gagner les 10 coups, comme de les perdre ou d'en gagner un "certain nombre" entre un et 10.
Et si l'on répète cette situation 100 fois, il est très improbable de voir As-Roi gagner et perdre exactement 50 fois sur la paire de Cinq.
Quelle est la probabilité de perdre un certain nombre de coin flip consécutivement ?
Nous jouons à pile ou face. Pile, nous gagnons et face, nous perdons. Si l'on lance une pièce en l'air, il y a deux résultats possibles : elle a exactement un chance de tomber sur pile et une chance de tomber sur face. On a donc une chance sur deux de gagner (21).
Si on lance à nouveau la pièce, il y a à nouveau une chance sur deux de tomber sur pile. Pour trouver pile deux fois consécutivement, il faut gagner le premier lancer puis le second. Il y a donc une chance sur quatre (22) de gagner (ou perdre) deux coin flips consécutivement : 50%*50%* = 25%. Il y a une chance sur 1024 de faire dix fois pile consécutivement en 10 lancers (210).
| Nombre de lancers | Nombre de résultats possibles | Probabilité d'une série |
|---|---|---|
| 1 | 2 | - |
| 2 | 4 | 25% |
| 3 | 8 | 12,5% |
| 4 | 16 | 6,25% |
| 5 | 32 | 3,125% |
| 6 | 64 | 1,1575% |
| 7 | 128 | 0,78125% |
| 8 | 256 | 0,390625% |
| 9 | 512 | 0,1953125% |
| 10 | 1024 | 0,09765625% |
Quelles est la probabilité de croiser une série gagnante/perdante sur un nombre donné de lancers ?
Pour évaluer la probabilité d'une série 'n' sur 'x' lancers, l'on multiplie la probabilité d'avoir une série 'n' par 'x-n+1'.
Ou plus clairement, si on lance une pièce 1.000 fois, quelle est la probabilité qu'elle rencontre une série de huit piles consécutifs ?
| Longueur de la série (n) | Probabilité de 'n' consécutifs | Nombre de séries de 'n' sur 1.000 lancers |
|---|---|---|
| 2 | 0,25 | 250 |
| 3 | 0,125 | 125 |
| 4 | 0,0625 | 62 |
| 5 | 0,03125 | 31 |
| 6 | 0,01525 | 16 |
| 7 | 0,0078125 | 8 |
| 8 | 0,00390625 | 4 |
| 9 | 0,001953125 | 2 |
| 10 | 0,0009765625 | 1 |
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