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Mathématiques poker : Disséquer une hand range avec le calcul des combinaisons

Mathématiques poker : Disséquer une hand range avec le calcul des combinaisons

Quand ils analysent une main jouée au poker, beaucoup de joueurs ont assimilé le fait de penser en terme de "hand range" (l'éventail de mains possibles chez un joueur) plutôt que de chercher à deviner quelle est la main précise de l'adversaire. Ainsi, on peut souvent entendre "Ici, l'adversaire à JJ+, AK", ce qui signifie que l'adversaire joue une paire de Valets ou mieux et As-Roi. On compte ainsi 169 mains possibles au départ.

Une autre façon de voir les choses est de penser en termes de combinaisons de deux cartes possibles préflop. De cette manière, il y a 1.326 mains de départ possibles. L'intérêt des combinaisons est de savoir dans quelle proportion une main est représentée dans une range.

Hand range vs combinaisons

Pour calculer le nombre de combinaisons possibles de mains préflop, la méthode est simple :

- pour les mains ne formant pas une paire : nombre de cartes A multiplié par nombre de cartes B.
Ainsi, pour calculer le nombre d'As-Rois possibles : 4 As*4 Rois = 16 façons de recevoir As-Rois préflop.
- pour les paires servies : (Nombre de cartes possibles * nombre de cartes possibles-1)/2
Pour recevoir une paire d'As préflop il convient de recevoir un premier As (quatre cartes possibles) puis d'en recevoir un second (trois cartes restantes). Puis l'on divise par deux car recevoir {a-Hearts}{a-Spades} est exactement la même chose que de recevoir {a-Spades}{a-Hearts}.

L'intérêt de cette méthode de calcul est de donner une image fiable de la distribution des mains. Par exemple, en terme de range, une paire d'As ou As-Roi représentent chacune une main sur les 169 possibles. Pourtant dans la réalité, il est bien plus probable d'avoir As-Roi que les As. Il y a six paires d'As possibles contre 16 As-Rois, on reçoit donc As-Roi 2,6 fois plus souvent que les As.

PréflopPostflop
Il y a 1.326 combinaisons (contre 169 mains uniques)Une paire + un kicker compte 12 combinaisons
Une paire servie = six combinaisonsUne double paire = neuf combinaisons
Deux cartes ne formant pas une paire = 16 combinaisons (12 dépareillées + 4 assorties)Un brelan = trois combinaisons.

Par exemple, nous relançons {k-Spades}{k-Clubs} préflop et sommes sur-relancé par un joueur avec un pourcentage de 3-bet de 3%. Nous payons et voyons le flop {5-Hearts}{a-Diamonds}{7-Spades}. Une range de 3-bet de 3% correspond à {j-}{j-},{q-}{q-},{k-}{k-},{a-}{a-} et {a-}{k-}.

Ici, nous serons dans une situation de way ahead/way behind, à savoir que soit l'adversaire a au moins un As en main et est largement favori, soit il n'a pas d'As est nous sommes largement favori. En supposant qu'il fasse un continuation bet 100% du temps dans cette situation, est-il profitable de payer ?

Il y a 3 combinaisons de paires d'As servies possibles et 6 combinaisons d'As-Roi qui nous battent. De l'autre côté, nous sommes devant 6 combinaisons de paires de Dames et 6 combinaisons de Valets. Au total, 9 combinaisons nous battent, nous battons 12 combinaisons (et partageons contre l'unique combinaison de paire de Rois possible). Malgré l'As au flop et la range serré de l'adversaire, nous sommes encore favori.

Evidemment cet exemple est simpliste et dans la réalité les situations rencontrées seront plus complexes. Il sera quasiment impossible de se livrer à ce type de calcul en pleine session à la table. De plus, ce serait inutile, puisque des logiciels comme PokerStove existent pour calculer l'équité au showdown.

Un cas plus complexe : évaluer la rentabilité d'un bluff

Calculer les différentes combinaisons possible ne remplace pas la lecture des ranges adverses, l'observation des tendances adverses ou la prise en compte des dynamiques de la table mais permet de pondérer la manière dont est constituée la range adverse et de savoir dans quelle proportion un type de mains y est représenté. Cela permet aussi d'évaluer la fold equity existante sur une range.

Supposons un joueur qui ouvre 11% de ses mains UTG. Il relance à 3 big blinds (bb) préflop, nous décidons de suivre sa relance avec {8-Spades}{9-Spades} au bouton, les blinds passent et nous voyons le flop {7-Clubs}{a-Hearts}{2-Diamonds} en heads-up. L'adversaire fait un continuation bet de 5bb dans un pot de 7,5bb.

Le pot fait donc 12,5bb lorsque la parole arrive jusqu'à nous. Ici, nous avons raté le flop et n'avons quasiment aucune chance de gagner le pot au showdown, il n'est donc pas question de suivre (et on ignore l'option de suivre pour float turn). Il est très possible que l'adversaire ait un As ici, en même temps, ce flop est parfait pour un continuation bet (une grosse carte et aucun tirage). De plus, si l'on a décidé de payer préflop ce n'est pas simplement pour essayer de toucher un flop mais aussi pour profiter de la position et "outplay" l'adversaire. Notre choix se résume donc à : - passer ou – relancer en tentant un bluff. Pour cela il convient de savoir dans quelle mesure nous parviendrons à faire passer l'adversaire.

Encore une fois, pour simplifier, nous supposons qu'il fait un c-bet 100% du temps dans ce type de situation et qu'il abandonnera toujours le coup s'il n'a pas touché au moins une top paire au flop et payera 100% du temps avec une top paire ou mieux. Une relance "standard" ici sera de la taille du pot soit 12,5 big blind. Pour que notre bluff soit rentable, il faut donc qu'il fonctionne au moins 50% du temps (donc faire passer plus de 50% de la range adverse) - puisque l'on risque 12,5bb pour gagner 12,5bb.

Une range de 11% correspond à {2-}{2-}+, {a-}{j-}, {a-}{q-}, {a-}{k-},{a-Spades}{j-Spades}, {a-Spades}{q-Spades}, {a-Spades}{k-Spades} {k-}{q-}, {k-Spades}{j-Spades} et {k-Spades}{q-Spades} (les {x-Spades} marquent les cartes assorties).

Ici, l'adversaire va payer avec :
- brelan : {a-}{a-}, {7-}{7-} et {2-}{2-} (9 combinaisons au total) ;
- top paire : {a-}{j-}, {a-}{q-}, {a-}{k-}, {a-Spades}{j-Spades}, {a-Spades}{q-Spades} et {a-Spades}{k-Spades} (45 combinaisons au total)

Il va passer avec :
- {k-}{q-}, {k-Spades}{j-Spades} et {k-Spades}{q-Spades} (20 combinaisons au total) ;
- toutes les paires servies sauf les As, Deux et Sept (60 combinaisons).

Au total, on peut estimer que l'on va être payé par 54 combinaisons de top paire ou mieux et que l'on va faire passer 80 combinaisons de mains inférieures à la top paire. L'adversaire va donc passer plus de la moitié de sa range ici : miser le pot en bluff est donc rentable.

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Jeremie B.

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